Principio
Aditivo
Si se desea llevar a efecto
una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la
primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la
segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas y la última de las
alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad
puede ser llevada a cabo de,
M + N + ………… + W maneras o
formas
Ejemplo:
Una persona desea comprar una
lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las
marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se
encuentra que la lavadora de la marca W se presenta de dos tipos de carga (8 u
11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres
tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un
tipo de carga, que es de 11 kilogramos, de dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tienes esta persona de comprar la lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de
seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30
maneras de seleccionar una lavadora.
https://es.slideshare.net/vanacigarroa/principio-aditivo
Principio
Multiplicativo
Si se desea realizar una actividad
que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede
ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o
formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede
ser llevada a efecto de:
N1 x N2 x ……… x Nr maneras o
formas
El principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto,
uno tras otro.
Ejemplo:
Una persona desea construir su
casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de
cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las
paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de
concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de
una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1 = maneras de hacer
cimientos = 2
N2 = maneras de construir
paredes = 3
N3 = maneras de hacer techos =
2
N4 = maneras de hacer acabados
= 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2
x 1 = 12 maneras de construir la casa
Notación
Factorial
El factorial para todo entero
positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos
los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta
n.
- n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x (n - 1) x n
- 0! = 1
- 1! = 1
- n! = (n – 1)! x n
La operación de factorial
aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y
análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el
número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido
conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos indios.
La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función
factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus
propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas,
particularmente del análisis matemático.
Ejemplos:
- Hallar 6!
Solución:
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
- Descomponer 10!
Solución:
10! = 10 x 9! o
10! = 10 x 9 x 8! o
10! = 10 x 9 x 8 x 7! y así
sucesivamente.
Permutaciones
En matemáticas, una
permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de
un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.
Una permutación de objetos es
un arreglo de éstos en el que el:
Sí entran
todos los elementos.
Sí
importa el orden.
No se
repiten los elementos.
Para encontrar el número de
permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usa la siguiente
fórmula:
Pn = n!
Permutaciones
Circulares:
Se utilizan cuando los
elementos se han de ordenar “en círculo”, (por ejemplo, los comensales en una
mesa), de modo que el primer elemento que “se sitúe” en la muestra determina el
principio y el final de muestra.
Permutaciones
con repetición:
Permutaciones con repetición
de m elementos donde el primer
elemento se repita a veces, el
segundo elemento b veces, el tercer
elemento c veces,… (m = a + b + c + … = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos
de forma que:
Sí
entran todos los elementos.
Sí
importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomado de n en n (m ≥
n)
a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de
forma que:
No
entran todos los elementos.
No
importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones
con repetición:
Las combinaciones con
repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos
formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los
elementos.
El número 
se llama también número combinatorio. Se representa por
y se lee “m sobre n”.
se llama también número combinatorio. Se representa por y se lee “m sobre n”.
Propiedades de los
números combinatorios
Diagrama
de Árbol
Diagrama de árbol es una
representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual
consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo
y probabilidad.
Para la construcción de un
diagrama de árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las
posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce
como rama primera generación.
En el final de cada rama de
primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas
conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del
siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento
(nudo final).
Hay que tener en cuenta que la
construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de ramas de
segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma
de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo
de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los
cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata
de ramas adyacentes (continuas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o
bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto,
el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos:
1.-Una universidad está
formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de
estudiantes.
La 2ª con el 25% de
estudiantes.
La 3ª con el 25% de
estudiantes.
Las mujeres están repartidas
uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una
alumna de la primera facultad?
P(alumna de la 1ª facultad) =
0.5 x 0.6 = 0.3
¿Probabilidad de encontrar un
alumno varón?
P(alumno varón) = 0.5 x 0.4 +
0.25 x 0.4 + 0.25 x 0.4 = 0.4 pero también podría ser lo contrario.
Teorema
del Binomio
El teorema del binomio,
también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio
como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)n posee singular
importancia ya que aparece con mucha frecuencia en matemáticas y posee diversas
aplicaciones en otras áreas del conociemiento.
Fórmula general del binomio
Sea un binomio de la forma (a
+ b).
Si a este binomio se le
multiplica sucesivamente por sí mismo se obtienen las siguientes potencias.
De lo anterior, se aprecia
que:
- El desarrollo de n (a + b) tiene n + 1 términos.
- Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.
- Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentan en uno con cada término, hasta n en el último.
- Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n.
- El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n.
- El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término.
- Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
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